Otázky ke zkoušce z Matematiky I

Otázky ke zkoušce z předmětu MATEMATIKA I ve strukturovaném studiu pro akad. rok 2018/2019

1. Zobrazení. Funkce. Definiční obor, obor hodnot. Graf funkce. Funkce omezená, sudá, lichá, periodická, monotónní, prostá.
2. Funkce inverzní a  složená, jejich definiční obory a obory hodnot. Příklady dvojic inverzních funkcí.
3. Funkce z Tabulky I.  Jejich definiční obory, obory hodnot, základní vlastnosti a limity.
4. Spojitost funkce v bodě a na intervalu. Základní věty o spojitých funkcích. Vlastnosti funkcí  spojitých na uzavřeném intervalu. Vztah spojitosti a limity.
5. Vlastní a nevlastní limita funkce. Limita v nevlastním bodě. Jednostranné limity. Základní  věty o limitách funkcí. Posloupnost a její limita. Posloupnost monotónní a omezená. Číslo  e.
6. Definice derivace. Geometrický a fyzikální význam derivace. Odvození rovnice tečny ke grafu funkce.
7. Derivace součtu, součinu a podílu. Derivace složené funkce.  Derivace inverzní funkce. Derivace elementárních funkcí. Derivace vyšších řádů.
8. Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu. L´Hospitalovo pravidlo. Typy neurčitých výrazů a výpočet těchto limit.
9. Vyšetření průběhu funkce. Způsob určení intervalů monotonnosti a lokálních extrémů, konvexnosti, konkávnosti a inflexních bodů.
10. Diferenciál. Taylorova formule a její použití.
11. Kořeny a separační intervaly rovnice f(x) = 0 . Newtonova metoda pro řešení rovnice  f(x) = 0 , její odvození a geometrická interpretace.
12. Křivky dané parametricky. Tečný vektor ke křivce. Parametrické rovnice přímky, úsečky, kružnice, grafu funkce. Popis pohybu hmotného bodu v rovině.
13. Newtonova definice neurčitého a určitého integrálu a jejich vlastnosti. Podmínky existence primitivní funkce k dané funkci. Geometrický význam určitého integrálu.
14. Výpočet určitého i neurčitého integrálu metodami per partes a substituce.
15. Polynomy,  rozklad polynomu v kořenové činitele. Funkce racionální, její definiční obor. Integrace racionálních funkcí. Parciální zlomky a jejich integrace.
16. Nevlastní integrály a jejich konvergence.  Příklady konvergentních a divergentních integrálů.
17. Numerická integrace. Lichoběžníková metoda a její odvození.
18. Riemannova definice určitého integrálu funkce jedné proměnné. Geometrické a fyzikální aplikace určitého integrálu. Střední hodnota funkce.
19. Diferenciální rovnice.  Pojem řešení diferenciální rovnice a integrální křivky. Eulerova metoda.
20. Metoda separace proměnných pro rovnici   y´ = f(x)g( y ).
21. Metoda variace konstanty.
22. Vektory a matice, operace s nimi. Lineární nezávislost vektorů a hodnost matice.
23. Determinant matice a jeho vlastnosti. Vztah determinantu matice k její hodnosti. Cramerovo pravidlo. Vektorový součin.
24. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Podmínky řešitelnosti.
25. Geometrie v Rn, zvláště v R3. Skalární a vektorový součin.
26. Homogenní lineární diferenciální rovnice 1. a 2. řádu s konstantními koeficienty.
27. Nehomogenní lineární diferenciální rovnice 1. a 2. řádu s konstantními koeficienty a speciální pravou stranou.
28. Funkce dvou reálných proměnných a jejich definiční obor, graf, vrstevnice, parciální derivace, gradient.